众所周知，叫牌在桥牌比赛中对胜负具有非常重要的地位。据国内外有关资料，叫牌在胜负中大致要占70%-80%的比重。成功的叫牌是取胜的重要前提。
　　本文主要就复式比赛的情形，来讨论叫牌的统计决策，而不是讨论任何具体的叫牌系统或某些牌的具体叫牌进程。任何一副牌，在完全亮出之前所确定的定约，其本身都有两种可能：成或不成，差别仅是成功的可能性的大小而已——一定做成的牌，完成定约的概率是1；一定是宕的牌，其定约完成的概率是0；一般可能完成的定约，其概率是P，0＜P＜1。因此，复式比赛中相应于不同定约的得分(IMP，其本质就是一个随机变数，统计决策的基本原理就是：至少要使得这种可能得分的平均数是非负的。
　　一个随机变数的平均数，数学上也称为“数学期望”。为便于了解，举一例以明之。
　　设在一个口袋中有10个筹码，大小形状均相同，其中有二块是1，三块是2，四块是3，一块是4。则每次任摸出一块，其号码是随机变数，它可能取的值是1，也可能是2、3、4中的一个数。其平均数就是：
　　(1/10)(1×2+2×3+3×4+4×1)＝1×2/10+2×(3/10)+3×(4/10)+4×(1/10)
　　显然，2/10、3/10、4/10、1/10分别是摸到1、2、3、4的概率。所以：平均数或期望值，就是可能取到的值与取到该值的概率是乘积之和。

　　例1：统计决策的基本原理。
　　设双方无局，闭室中敌方叫3，但此牌有可能做成4。问：我方开室中何时应该叫到4定约?设4做成的概率为P＞O(例如，P＝0．5即为100副中平均将有50副可望做成)。
　　因假定闭室中敌方仅叫到3，故闭室中我方的得分可能是：-140或-170。开室中我方答叫到4，则可能的相应得分是：-50或420，因此，对于我方开室中的4定约，只有两种可能的得分：-140+(-50)＝-190或-170+420＝250，折合成IMP就是-5或6。得6IMP的可能性就是4做成的概率P，得-5的概率就是(1-P)。因此，得分的期望值或平均数就是：
　　6·P＋[-5·(1-P)]＝11P-5
显然，至少当这个平均数是非负时，叫4定约才是可取的，否则经常如此必定吃亏!因此，至少当
　　11P-5≥0即P≥5/11≈45%＝0.45
时叫4定约是可取的。也就是说，根据具体牌情分析后，牌手觉得完成4定约的把握如果不小于45%的话，则就可以叫到4，这对较长期来说是决不会吃亏的。

　　例2、关于惩罚性加倍的统计决策。
　　假定双方有局，我方闭室中叫到3G定约，开室中敌方也叫3定约。我方开窒中有多大可能性P能击败对方的定约(设宕1)时才能进行惩罚性加倍?
　　闭室中我方可能得分为：140或-100，加倍后开室中我方可能得分为：-730或200，因此，折合成IMP，我方可能得分为：-11IMP或3IMP，相应地取到这二个值的概率就是(1-P)及P。所以期望值是
　　-11(1-P)+3P＝14P-11因此，当14P-11＞0即P>(11/14)=79%时才可考虑惩罚性加倍。
　　对于2、2等无局方定约使用惩罚性加倍的要求还要略高一些，读者不难自行计算之。这就从理论上指出了，使用惩罚性加倍的要求是很高的；同时，如果自己已有这样大的把握使对方的2定约仅宕一墩，那么自己一般往往可以做成一个得分大于100的定约。笔者认为，这就是近代桥牌中很大程度地废弃惩罚性加倍，而把它作为技术性加倍使用的理论上的本质原由!

统计决策函数的一般形式

　　叫牌中除了部分定约及加倍外(即不叫成局的定约)外，基本上可分为如下几类：
　　1.牺牲叫——确切地说就是，敌方完成定约的可能性至少＞0，而我方叫的定约则肯定不能完成(亦即完成的概率＝0)。
　　2.夺奖叫——叫到局或大、小满贯的定约。例如冲4，则3必须是一般一定能完成的，而4做成的概率至少＞0。
　　3.争夺叫——在争叫过程中，双方所叫的定约完成的概率到少都＞0的争夺叫牌。这是一种非常值得引起重视和进一步具体研究的叫牌，下面将以例来说明之。
　　现在我们来考虑统一形式的统计决策函数。设，闭室中我方作定约B，完成的概率为q。开室中我方作定约A，完成的概率为P。
　　为简便起见，A，B也分别代表结果所得分数。如果闭室中是敌方定约得分，则只要把B作为负分即可，开室中亦然。此外，因A、B定约均并非必然成功，故也就可能有宕分，分别记为a，b，相应的概率就是(1－P)及(1－q)。因此，得分情况及相应的概率如下：

　　其中，(A十B)I等代表分数(A十B)折换成IMP。所以，我方在开、闭室中分别作定约A、B时的得分的期望值就是
　　U＝[(A十B)Iq＋(A－b)I(1－q)]p＋[(－a＋B)Iq－(a十b)I(1－q)](1－p)
　　上式就是统计决策函数的一般形式。所谓统计决策，就是要根据U≥0所确定的p、q来决定我们的叫牌行为。
　　1．牺性叫——设闭室中我方所叫定约得分B，可能宕分为b，概率分别为q及(1－q)；开室中敌方若叫同样定约则平，我方若考虑作牺牲叫，即是p＝0，A＝0。代入前式即有：
　　U＝(－a十B)q－(a十b)(1－q)≥0
　　即：  q≥q*＝(a+b)/[(a+b)+(B-a)]
　　例如：双方无局，闭室中我方叫4定约，开室中我方考虑作4的牺牲叫，失分为a。则由上即可求得(设4可能宕一，失50)，近似地有

　　即：如果我方开室中叫4能保证失分不多于100，在敌方有33%以上的可能完成4定约时，就应该作4的牺牲叫；反之，如果敌方完成4定约的可能估计不会大子33%，则即使最多失分100，也不要去作牺牲叫。如果估计自己要宕分300，那么只有当敌方完成4的概率不小于73%的时候作牺牲叫才是值得的，否则，从统计角度来看是不合算的。也就是说，必须仔细地分析、判断敌我双方的情况与可能性的大小，才能作出合乎统计科学的抉断。
　　夺奖叫的情形前已举例，不再重复。
　　2．争夺叫——敌我双方完成所叫定约的概率都至少大于0的叫牌，我们称为争夺叫。
　　例如：双方无局。闭空中我方叫2定约，可能宕分为50分；开室中敌方也作2定约，而我方也有可能做成2或2的定约，但可能的宕分设为100分。设完成2的概率为q，完成2的概率为p。问，P，q怎样关系时叫2是合算的?
　　在前述一般式中置B＝90，b＝50，q；A＝110，a＝100，p，即可有：
　　U＝5pq十2(1一q)(3p—2)≥0
　　即：  P≥p*＝4－20/(6-q)
　　列表如下：

q	1	0.80	0.70	0.60	0.50	0.40	0.30	0.20	0.10	0.05	0
P*	0	0.15	0.23	0.30	0.36	0.43	0.49	0.55	0.61	0.64	0.67

　　这结果总的说来是：敌方2完成的概率越大，则争叫2要求完成的概率就越小。但必须具体地分析。若敌方完成的概率为60%，则我方只需30%的把握即应与之争叫。总的说来，这类计算结果指出，要积极地进行争叫!这同时还因为，正如前面已指出的，惩罚性加倍在理论上来说是要求很高的，因而在低付水平时大都为技术性的加倍，因而不必过分地担心。笔者并不在此提倡没有根据的冒叫，只是说要积极地争叫。合理的争叫成功，往往会造成两边得分(一般有5-6IMP可得)。二副牌得利就相当于一个局或一个小满贯赢分，是十分可观的，我们在实践中已多次证实了这点。杨小燕女士曾精辟地指出过：不成局的牌要抢过来打。这话是颇有道理的，本文的计算从理论上又一次论证了此点。过去往往把敌方首开叫后我方的叫牌统称为“防守叫牌”，看来有欠妥之处，笔者认为称之为争夺叫以及干扰叫更为适当些，争叫的叫牌，迄今还缺少理论上的系统的方法，这是很值得化大力气去深入研究的。
　　关于夺奖叫的若干统计决策的概率界限值，列表如下供参考。(设：低一副水平肯定成，且宕时敌无加倍)。

	4/4	6/6	7/7		3NT	6NT	7NT		5/5	6/6	7/7
无局方	0.45	0.5	0.56		0.45	0.5	0.56		0.45	0.48	0.56
有局方	0.375	0.5	0.57		0.375	0.5	0.57		0.375	0.48	0.57